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旧版本如下数列极限证明大题1.单调有界准则1.1 证有界性和单调性
1.2真题实战1.2.1 证明有界性中常用到的不等式
新版本如下数列极限证明大题的系统解决(上篇)1.入手第一步-预求收敛值2.入手第二步-先证明有界，后证明单调3.开始证明
数列极限证明大题的系统解决(下篇)
写在最前，持续更新中，感谢收藏的小伙伴，两个版本旧版本浅一些，新版本深一些！！！
旧版本如下
数列极限证明大题
数列极限的证明大题的目标是，证明数列极限存在且求此极限。 核心方法是：单调有界准则，如有上界+数列单增，则可说明数列极限
1.单调有界准则
在利用单调有界准则的过程中，我们先要证明有界性，再去证明单调性。 因为，有界性有助于我们判断单调性
1.1 证有界性和单调性
有界性的证明方法一般有两种+一种简单整理： 1️⃣ 数学归纳法 2️⃣利用不等式 3️⃣通过简单的整理分子分母，就可以得到界
单调性的证明方法一般有三个方面 1️⃣给出首项，利用导数工具，证明数列单调性 2️⃣未给出首项，则构造xn+1-xn或xn+1/xn的形式，尝试分母有理化等方法，证明>0或<0 3️⃣数学归纳法
使用导数来证明数列单调性的说明： 函数的导数>0,则说明数列单调。至于单增还是单减，要通过分析x1和x2之间的关系，x1>x2，就是单减，反之是单增。 函数的导数<0，则无法说明数列单调。采用别的方法-压缩映射法。
一般来说，如果首项已知，选取f(x)作为函数求导，若未知，选取xn+!-xn作为求导对象。
1.2真题实战
(
1996
)
设
x
1
=
10
，
x
n
+
1
=
6
+
x
n
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
，试证数列
{
x
n
}
极限存在，并求此极限
\left(1996\right)设x_{1} = 10，x_{n + 1} = \sqrt{6 + x_{n}}\left(n = 1,2,...\right)，试证数列\left\{x_{n}\right\}极限存在，并求此极限
(1996)设x1=10，xn+1=6+xn
(n=1,2,...)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限
1.在做此类题目的第一步是预求极限，先把答案要求的极限求出来，然后就可以用来提前把握证明有界性 2.证明有界性 3.证明单调性 下结论，求极限（把预求的结果抄一遍）
(
2002
)
设
0
<
x
1
<
3
，
x
n
+
1
=
x
n
(
3
−
x
n
)
(
n
=
1
,
2
,
.
.
.
)
，试证数列
{
x
n
}
极限存在，并求此极限
\left(2002\right)设0 < x_{1} < 3，x_{n + 1} = \sqrt{x_{n}\left(3 - x_{n}\right)}\left(n = 1,2,...\right)，试证数列\left\{x_{n}\right\}极限存在，并求此极限
(2002)设0 (n=1,2,...)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限 1.2.1 证明有界性中常用到的不等式 a b ≤ a + b 2 \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} ab ≤2a+b a + b 2 ≤ a 2 + b 2 2 \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} 2a+b≤2a2+b2 e x ≥ x + 1 e^{x} \geq x + 1 ex≥x+1 (对于任意 x x x) x − 1 ≥ ln x x - 1 \geq \ln x x−1≥lnx (对于 x > 0 x > 0 x>0) 三角函数相关： sin x < x \sin x < x sinx x > 0 x > 0 x>0) sin x < x < tan x \sin x < x < \tan x sinx 0 < x < π 2 0 < x < \frac{\pi}{2} 0 当 0 < x < π 4 0 < x < \frac{\pi}{4} 0 x < tan x < 4 π x x < \tan x < \frac{4}{\pi}x x 当 0 < x < π 2 0 < x < \frac{\pi}{2} 0 sin x > 2 π x \sin x > \frac{2}{\pi}x sinx>π2x 新版本如下 数列极限证明大题的系统解决(上篇) 上帝的视角，自然的思路。 证明数列极限收敛：单调有界准则就是数列递增有上界，数列递减有下界这两方面 1.入手第一步-预求收敛值 在拿到一道证明数列界限收敛，要先预先求出xn的收敛值。 问题1:为什么我们要先证明数列收敛，才能求极限值？ 因为，假如一个振荡的数列，1，2，1，2这种，它不收敛但是能求出极限值 问题2:为什么要预先求出xn的收敛值？ 原因如下： 1.明确界限是什么？ 2.通过首项，明确我们要证明的单增还是单减？ 如何求这个收敛值？以例1为例 根据xn+1的递推式，写出 A = 2 + A , A 2 = 2 + A , 求出 A = 2 或 A = − 1 又因为 x 1 = 2 > 0 ， A 应为 2 A = \sqrt{2 + A},A^{2} = 2 + A,求出A = 2或A = - 1\\又因为x_{1} = \sqrt{2} > 0，A应为2 A=2+A ,A2=2+A,求出A=2或A=−1又因为x1=2 >0，A应为2 例 1 ： x 1 = 2 , x n + 1 = 2 + x n ，证明 { x n } 收敛，并求极限值 例1：x_{1} = \sqrt{2},x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_{n}}，证明\left\{x_{n}\right\}收敛，并求极限值\: 例1：x1=2 ,xn+1=2+xn ，证明{xn}收敛，并求极限值 2.入手第二步-先证明有界，后证明单调 为什么先证明有界？因为在实际问题中，我们需要用到有界的结论，才能很好的证明出单调性。 3.开始证明 通过做题不断掌握证明方法 例1:证明有界时，用到了数学归纳法,证明单调时，列出了两种方法，第一种仍是数学归纳法，第二种是做差，将问题转化为，由第一问中证出的有界，把它看作成一个定义域，求做差之后的式子的值域问题。 在实际做题的过程中，常常用第二种方法证明单调 例2: 在证明有界的过程中，我们还可以使用一些不等式 例 1 ： x 1 = 2 , x n + 1 = 2 + x n ，证明 { x n } 收敛，并求极限值 例1：x_{1} = \sqrt{2},x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_{n}}，证明\left\{x_{n}\right\}收敛，并求极限值\: 例1：x1=2 ,xn+1=2+xn ，证明{xn}收敛，并求极限值 类题 1 ： ( 1996 ) x 1 = 10 , x n + 1 = 6 + x n ，证明 { x n } 收敛，并求极限值 类题1：\left(1996\right)x_{1} = 10,x_{n + 1} = \sqrt{6 + x_{n}}，证明\left\{x_{n}\right\}收敛，并求极限值\: 类题1：(1996)x1=10,xn+1=6+xn ，证明{xn}收敛，并求极限值 例2: 例3: 类题3: 例4: 数列极限证明大题的系统解决(下篇) 对于an+1=f(an)型的数列，an和an+1之间的关系完全是由f(x)决定，那么函数f(x)的有界性是否会影响到数列{an}的有界性？ 答案是显而易见的，结论如下，需要记牢。 例题1: 设a0=25，an=arctanan-1（n=1,2,…）,证明{an}收敛，并求极限 因为artanx有界，则{an}有界 又因为artanx单调递增，{an}单调 综上{an}收敛，A=arctanA，A=0 例题2: